2018年武汉工程大学计算机科学与工程学院408计算机学科专业基础综合之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求
【答案】令
.
性知
又f （0） =0，从而于是
2． 求曲线
【答案】
令
,
得
时取最大值. 故
3． 研究函数
【答案】
当在点
时
,
当
处曲率最大.
时
,
, 所以K （:r
）在
上曲率最大的点.
易知其收敛域为
. 由幂级数的逐项可导
在x=0处的各阶导数.
, 故f （x ）在
处连续
.
于是, 一阶导数
于是, 即二阶导数
.
因为, 所以三阶导数不存在, 并且当时, 都不存在.
4． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且
求证:【答案】因为
所以对任意给定的
, 使得当
时,
（*）
, 由（*）得
（**）
因为
所以对（**
）令
取极限得到
从而
5． 判别下列广义积分的收敛性:
（1）
（2）
, 有
, 即
, 所以对N=1,
【答案】（1）方法一因为便知积分
收敛
方法二当
时
,
, 而
,
即广义积分（2）因为
收敛, 从而
收敛, 即得
收敛.
收敛.
, 所以由第（1）小题知广义积分
6． 试问如何把定义在的形式:
（1）（2）
【答案】（1）将在即
上的可积函数f 延拓到区间
上定义的可积函数f 作延拓, 使
内, 使它们的傅里叶级数为如下
时, 满足
对上述延拓再作偶延拓,
使
上为偶函数, 且为满
足
故其傅里叶级数的形式为
（2）将f （x ）作一奇延拓,
使
及
且满足
时
,
从而
时满足
对该延拓再作一奇延拓,
使
上的可积奇函数,
故其傅里叶级数的形式为
则此时所得的延拓函数是在
（n=0, 1, 2, …）, 已知
及
则此时所得的延拓函数在
的可积函数, 从
而
已
知
二、证明题
7． 设正项级数
收敛, 和为S. 令
求证:当0 【答案】把区间[0, S] 用分点 及函数 的单调递减性, 得 这意味着级数 8． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为 【答案】（1）因为f 在正数M , 分成无限个小区间. 在上, 由 的部分和有界, 从而此级数收敛, 且 内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则 为 的无穷小量, 则为 时的无穷小量. 内也有定义. 对于任意大的 ; 内有定义且不等于0, 所以在
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