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一、证明题

1． 证明:若在[a, b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在

【答案】设

则

, 于是有

由假设gU ）为单调函数, 故使得

2． 证明:

【答案】令

, 其中

, 因为

所以函数f （x ）在所以

3． 设当

因

为 4． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使使

又由

由迫敛性得

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, 使得

不变号, 从而根据推广的积分第一中值定理, 存在

上是凸函数. 因此

. , 而

, 所

以

, 而,

, 即时, 时

,

. 证明:f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

, 从

而

, 这与题

设

【答案】反证法, 假设f （x ）、g （x ）都在x=0连续, 则

矛盾. 故f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

成立

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5． 设

是曲面F （x , y , z ）=1的非奇异点, F 在

可微, 且为n 次齐次函数. 证明

:此曲

面在P 0处的切平面方程为

【答案】

由于F 为n 次齐次函数,

且F （X , y , z ）

=1.故有

曲面在处的切平面方程为

即

而由①式知

故由②知曲面在P

0处的切平面方程为

故

二、解答题

6． 设

试验证

并求

【答案】

∴

又

7． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式:

（1）

; （2）

【答案】（1）

因此,

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①

②

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（2

）

所以

,

8．

把

其中f （u ）为连续函数.

【答案】令

上的

n （

）重积分

化为单重积分,

则

由于

所以

9． 求幂级数

【答案】由于

因此另外

因此幕级数

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的收敛域及和函数.

的收敛域.

的收敛域为及和函数为.