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一、综合题

1．

对幂级数域上的一致收敛性.

【答案】（1）记

因为

所以当级数

发散, 所以原级数的收敛域为（﹣1, 1）. （2）

（3）取

, 则

于是

在（﹣1, 1）内不一致收敛于0, 故该幂级数在收敛域内不一致收敛.

2． 求椭圆

的内接矩形中面积最大的矩形.

, 则矩形面积为

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, （1）求其收敛域; （2）求其和函数; （3）讨论幂级数在收敛

即时级数收敛, 当. 时级数发散, 故级数的收敛半径R=1, 当x=±1时

【答案】设内接矩形的第一象限内的顶点为

求S （x ）的最大值点等价于求的最大值点. 从

又

即点

是函数f （x ）在[0, a]内的最大值点, 从而也是函数S （x ）在[0, a]内的最大值点,

故最大内接矩形的面积为

3． 利用微分求近似值:

（1）（2）（3）（4）则

即（2）令

由（3）令所以

（4

）所以

4． 求下列积分

（1）（2）（3）【答案】⑴

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.

,

,

. ,

, 则

得

, 则

,

,

【答案】（1）令

,

令

.

, ,

则

, ,

（提示:可利用公式）；

由M 判别法知在[a, b]内一致收敛. 所以

（2）, p=l, a=0, b=x得

（3）因为

, 所以x=0不是函数

在

因此含参量非正常积分

故由（2）的结论有

5． 设

求证: （1）（2）

与

存在;

在（0, 0）点不连续;

; 同样因f （0, y ）=0, 得

.

的瑕点,

上一致收敛,

（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微. 【答案】（1）因f （x , 0）=0, 所以（2）容易求出

令y=x,

故

在（0, 0）点不连续. 同理可知

在（0, 0）点不连续. （3）由于’

是有界变量, 当

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时, x 是无穷小量, 所以