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一、证明题

1． 设

也是【答案】

为上的凹函数.

由此推出

由凹函数定义，即知

2． 给定积分换满足

证明：

【答案】利用复合函数的微分法，有

通过计算易知

注意到

可得

3． 设f 为

上的递增函数. 证明

和.

都存在，且

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上的凹函数，求证：

是上的凹函数. 作正则变换

区域D 变为，如果变

【答案】

①取

•即f (x ) 在

是对任给的

②

4． 设

在点存在

使得即

同理可证. 存在，在点

于是有

) . 因为f

为

，令故

上的增函数，

所以对

上有上确界，令则

并当

.

有F 时，有

上有上界. 由确界原理知f (x ) 在

在点连续，证明f (x ，y ) 在点

可微.

【答案】因为其中

存在，由一元函数的可微性知

令

时有

故f (x ，y )

在点

5． 证明

【答案】因为续. 取

在

从而可微.

上一致连续，但在在闭区间

上不一致连续.

在

由

但得

于是，无

论故

在

多么小，总存在两

点

上不一致连续.

在V 上与S 上具有二阶连续偏导数，

满

足

上一致连

因

为

在

点即

连续，所以

当

上连续，由一致连续性定理知

设是任一正数，则

6． 设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域，函数函数

偏导连续，证明：

【答案】(1) 由高斯公式：

令

有

即

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(2) 由(1) 式用代替可得

类似地可以得出：

三式相加，再由第一、二型曲面积分关系可得

二、解答题

7． 计算下列定积分：

【答案】（1）

（2）令

则

则

（3）令

则

则

令

则

则

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