2017年南京理工大学理学院616数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 已知
证明
：
则
内严格单调递增.
此即
则
所以g (x ) 在又
内严格单调递增.
此即
2． 设a 为有理数，x 为无理数. 证明：
(1) a+x是无理数；(2) 当盾. 故a+x是无理数.
(2) 用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数，所以无理数矛盾. 故ax 是无理数.
3． 设为n 个正数，且
证明:
【答案】(1) 由洛必达法则得
(2)
设
有
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【答案】令所以f (x ) 在又f (0) =0，因此再令，
时，ax 是无理数.
也是有理数. 这与x 是无理数矛
是有理数. 这与x 是
【答案】(1) 用反证法. 假设a+x是有理数，那么
因为 4． 设
【答案】令
于是当
故由柯西中值定理，存在
使得
证明存在
使得则.
在时
即
5． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理。
【答案】根的存在定理：若函数f 在闭区间点
使得
假设方程
性知，对每一点符号. 于是，所有的来覆盖右端点盖
.
在形成
内无实根，
则对每一点
使得
在
有
由连续函数的局部保号内保持与
相同的它的
的一个开覆
存在x 的一个邻域
上连续，且
与
异号，则至少存在一
上连续，在
内可导，
不同时为零. 又有
由迫敛性知，
的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间
以此类推，经过有限次地向右移
这n
个开区间显然就是
与与
的符号. 以此类推，
具有相同的符号.
因为
具有相同的符号. 这与
把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间，设为又属于S 的另一个开区间，设为
使得
在
内也具有
在每一个所以
内保持同一个符号.
在
内
动，
得到开区间
与异号矛盾.
故至少存在一点使得
6． 设. 证明：
【答案】因为
所以
二、解答题
7． 求下列函数在给定区间上的最大最小值：
【答案
】
故舍去.
由方
程
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得稳定
点由
于处取最小值
比较它们的大小知，函数在
-10,
在处取最大值2。
由即
知
最小值不存在。
当又因
时，
当
时
，
（2）令
于是，当
（3）
故函数在
8． 求函数微性.
【答案】
时，函数取最大值1。又因
由
得稳定点
处取最小值，最小值为故最大值不存在。
在原点的偏导数，并考察的可
若而
当
肘，
从而
所以
在
不可微.
在
点可微，则+
且
9． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：
【答案】⑴
所以由.
的极限函数
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可知
在
上连续，可微且可积.