2017年南京师范大学数学科学学院602数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设p 为正整数. 证明：若p 不是完全平方数，则是无理数.
【答案】反证法. 假设且n>1，
使得
是有理数. 由于P 不是完全平方数，于是存在两个互质的正数m ，n ，
由此得
由于
所以存在质数
于
于是
是这与m ，n 互质矛盾，所以是无理数.
2． 设f 在上有任何阶导数，
记且在任何有限区间内
，
(c 为常数). 【答案】由题意可知，故
其中
3． 设
【答案】因知收敛.
4． 设
(1)
(2) 计算重积分' 【答案】(1) 令S 为由对称性显然可得
而
所以
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试证
在任何有限区间内连续，且
由
积分可得
故
为常数.
且
有界，证明
使
收敛.
从而
又
收敛，由比较原则
有界，故存在
证明：
(2) 利用(1) 的结果得
5． 已知在
证明:函数列【答案】由
上，函数列
一致收敛于一致收敛于在上分别一致收敛于
函数列
可得
在上分别一致收敛于
又故
在
上一致收敛于
6． 证明：当且仅当存在各点互不相同的点列
【答案】充分性若存在有
当充分大时
点，这说明
必要性若取
含有
的无穷多个点，
又
从而
中含有E 中无穷多个
则
1
是E 的聚点.
是E 的聚点，则对任给的
中含有E 中的点，取出一个，
记为则
这样继续下去，得到一个各项互异的点列
易见
依此类推，
取
中含有E 中的点，取出一个，记为
则
中必含有E 中的点，取时，则对任给的
时
是E 的聚点.
时，
一致收敛于
总存在N ，使得
中含有E 中的点，取出一个，记为
二、解答题
7． 设
【答案】方法一作变量代换
则
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方法二因为
所以
8． 如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积。
图
【答案】
椭圆柱面的方程为性质有
解得
于是
故所求体积
9． 若
【答案】
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设垂直于X 轴的截面面积为则由相似三角形的
求