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一、填空题

1． 总散射截面Q 与微分散射截面

的关系是_____。

【答案】

2． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性

3． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

则的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

4．

当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.

【答案】测量的干扰

【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.

5． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。

【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率

6． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

二、证明题

7． （1）设（2）试将【答案】（1）

与pauli 算符对易，证明

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

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化简可得：

（2）

8． （1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出

C 为积分常数，可由归一化条

即为厄米算符。

具有周期性，

所以

即本征值为实

【答案】（1）证：对于厄米算符

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

由此可得数记为

即为其本征函数. 相应的本征方程为

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即角动量z 分量的本征值为是量子化的，相应本征函

再利用归一化条件可得

三、计算题

9． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：（2） 10．取上表达式中

为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场

均为常数，且

利用波函数的归一化

由

可得，

代入可得基态能量

11．两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。

【答案】单电子波函数的空间部分：

二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：

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中的基态能量. 以

【答案】试探波函数从而