2018年中国矿业大学(北京)理学院803量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。
【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率 2．
表示_____，几率流密度表示为_____。 【答案】几率密度；
3． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
4． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
的整数倍；对称变换
二、选择题
5． 一维自由电子被限制在x 和
处两个不可穿透壁之间
，
埃，如果
是电子最低能
态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）
I 【答案】C
【解析】
一维无限深方势阱中能级公式为
由题意，基态能量为
则可知，
较高级能量与基态能量比值为
则第一激发态能量为
6． 量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系
7． 如两力学量算符有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为_____。
【答案】0
8． 在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符
【答案】B
【解析】物理量平均值定义
为
考虑到正交归一化条件
与之对应，
若体系处在由波函数
描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。
分别为物理量本征值及取值概率，
而和力学量算符的厄米性，于是
三、简答题
9． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
10．能级的简并度指的是什么？
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
四、计算题
11．两个自旋为
的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为
其中c 为
实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：
在稱合表象中，本征函数的编号选为：
哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：
（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。
则可知的本征值为：
依题意可知，初态波函数为：
这样，可以给出t ＞0时体系处的状态
为：
（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：
12．取上表达式中
为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场
均为常数，且
利用波函数的归一化
由
可得，
代入可得基态能量
13．已知
从而
中的基态能量. 以
【答案】试探波函数
在的本征态下，计算的平均值。
【答案】
14．在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明
表示时刻t 在区间内发现粒子的几率.
其中
是几率流密度.