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一、填空题

1． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。

【答案】

2． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。

【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率 3 用球坐标表示 ，．粒子波函数表为写出粒子在球壳中被测到的几率_____。【答案】

4． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050

【答案】（1）B

【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即

5． —粒子的波函数为【答案】

6． 一粒子的波函数【答案】

写出粒子位于间的几率的表达式_____。

则粒子位于间的几率为_____。

二、计算题

7． —个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】

在

表象下，

由

可以解得

：

其中

时态矢为：

分别为朝上和朝下时的波函数.

即t=0

时刻电子自选波函数

电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故

状态为的本征态，对应本征值为：

t ＞0时刻电子自旋波函数应为

写成矩阵形式，即

而

平均值为

8． 自旋为的一定域电子在均匀磁场子处 在

的本征态上，求t ＞0时测量

中运动，磁作用势为的可能取值及相应的几率。

设t=0时刻，电

【答案】的本征态矢与本征值为：

任意t 时的态矢为：

可能取值为

9． 考虑自旋为的系统。 （1）试在

表象中求算符

的本征值及归一化的本征态。其中

是角动量算符，

而4、5为实常数。

（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为

有

则在

设

解得本征态为：

（2）在

表象中，

的本征态为

故发现

的概率为：

表象中

为归一化的本征态，

则由本征方程

对应几率为