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一、填空题

1． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。

【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。

2．

一维谐振子升、降算符、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与密顿量H 用N 或【答案】

3． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

4． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.

5． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。

【答案】

6． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。

【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率

、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

二、计算题

7． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为

为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数

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其中

（3）t 时刻的能量平均值.

【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有

故

（2） —维谐振子能量为故

t 时刻波函数为

（3）

各自对应概率为

7

均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为

8． 氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：

【答案】（1） r 的平均值即

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级

和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理

（为势能关于r 的幂次）有动能平均值

其中玻尔半径

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求：

】

而氢原子基态能量为

故5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并

度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.

9． 已知

在的本征态下，计算的平均值。 【答案】

10．Q 表缘的基矢有两个：

算符有如下性质：

（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为

求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.

【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元

.

设其本证函数为则有由久期方程

对应本征函数为

对应本征函数为

解得

再代回

可得

（2）粒子的力学量由题意

可能取值即其本征值.

时，相应概率为时，相应概率为

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