2018年中国矿业大学(徐州)理学院858量子力学之量子力学教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
2． 如图所示，有一势场为：
，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。
图
【答案】
3． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】
4． 一粒子的波函数【答案】
则粒子位于
间的几率为_____。
5． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象
；
6． —粒子的波函数为【答案】
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写出粒子位于
间的几率的表达式_____。
7． （1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
其中为本征值，上式可改写为
易解出
C 为积分常数，可由归一化条
即为厄米算符。
具有周期性，
所以
即本征值为实
【答案】（1）证：对于厄米算符
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
8． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
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即角动量z 分量的本征值为是量子化的，相应本征函
再利用归一化条件可得
9． 在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数
，
代表
（自旋向上）的状态波函数，
代表
简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态
代表自旋向上的概率
，
代表自旋向下的概率，归一化表示为
：
10．已知（1）利用（2）求
在
的本征态
在
是泡利矩阵，表象中的表达式，求
在
可由
的本征态经绕x 轴转动
表象中的本征态矢
试由此
角的坐标变换而得，即
表象的表达式，并与（1）所得结果比较。
【答案】（1）易知：
设
本征矢
则
即
（2）由题意可得：
同理，可得：
可见，两种方法得到的本征态相同。
11．设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量
本征值为
因此定态方程
其中，为自的解为：
的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。
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