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一、证明题

1． 设

在

上二次可微，且

证明:【答案】

及任意的实数h ，由泰勒公式，有

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界，可得

上式是关于h 的二次三项式，由其判别式

2． 求证：黎曼

函

【答案】(1)

具有如下性质：

使得

又

从而

上一致收敛. 进一步由连续性定理，可知函数

上连续.

上

(1) 在x>1上连续；(2) 在x>1上连续可微.

可得

连续，特别在连续. 由于的任意性，即可肯定

(2) 由(1) 可知

使得

又

收敛，从而一

在

上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知

且

在

上连续，特别

在点可导且

在连续. 由的任意性，即可肯定

在；x>l上连续可微.

3． 证明:

若

在

【答案】对

上可积, F

在上连续，且除有限个点外

有则

有

作分割

上

对

使

使其包含等式

不成立的有限个点

为部分分点，在每个小区

间

于是

使用拉格朗日中值定理，则分别存

在

因为

在

上可积，所以令

有

二、解答题

4． 求曲面

【答案】

所以切平面方程为

法线方程为 5． 设大值.

【答案】先求f 在条件

下的最大值. 设

令

解得

于是f 在条件故f 在条件

下的最大值为下的最大值为

6． 设函数

的定义如下：

在点处的切平面与法线方程.

即

即

为已知的n 个正数，求在限制条件下的最

试依链式法则求下列复合函数的导数：

【答案】(1) 令则

(2) 令

则

(3) 令

则

(4) 令

则

(5) 令

则