2017年广西民族大学理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为n 个正数，且
证明:
【答案】(1) 由洛必达法则得
(2) 设
有
因为
由迫敛性知，
2． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a，b]内可积，证明:对[a，b]内任意分割
有
【答案】由积分的定义知
且
由于可积，所以
(
为振幅)
所以
所以原命题成立.
二、解答题
3． 求下列函数的全微分：
【答案】
4． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为
【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为因此
考虑
则
所以
由于
，因此
。所以
同理可证
5． 计算四重积分
【答案】作变换则得
D 的面积为
为D 内任一点，证明
，得到
其中
6． 设
试分别讨论【答案】⑴当
时极限时
且
是否存在，为什么？
可得
(2) 当
是
又对
故此时
7． 讨论黎曼函数
【答案】（1）先证
在[0, 1]上无理点都连续. 设无理数
若X 为0，1或无理数，总有
若取
的，记为
在[0, 1]中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个，选其中最接近于则当
时，有
（2）再证（0，1）上的有理点均为f （x ）的第二类间断点. 设有理数
使
再取有理数列
由
则使
所以
则
不存在. 即证
为f （x ）的第二类间断点.
取无理数列
在区间[0, 1]上的不连续点的类型.
不存在.
有
但是
.
时
不存在. 因为，若取
则|
时
但
从而
（3）类似可证1不是f （x ）的左连续点. （4）可证0是f （x ）的右连续点.
8． 设
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