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一、证明题

1． 设函数

在

上严格单调増加，求证：函数

也在【答案】

上严格单调増加.

且设

于是

同理可证

2． 设f (z ) 是在

⑴数

【答案】

即这里 3． 设

证明：

【答案】由拉格朗日中值定理知，

使得

因为上式右端大于0, 所以下面只需答:令

时，

当

原

不等式成立.

因为

在上严格单调増加，所以

在上严格单调增加. 内的可微函数，且满足：

⑵绝对收敛.

其中任取定义证明：级

由比值判别法知

绝对收敛.

则

显然

是

在上的唯一驻点. 因为当

时

，

所以是的最大值点. 于是从而

二、解答题

4． 长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？

【答案】取铁索的一小段为微元，则有

5． 讨论积分

的敛散性. 【答案】先讨论令

即

则

当所以由

时，

单调递减趋向于零. 又

时，收敛；

有

由柯西准则知，发散. 再由

6． 求心形线

的单调有界性，根据

法知，与具有相同的敛散性.

有

法知，当

的敛散性.

故

所围图形的面积。

【答案】所围图形的面积为

7． 对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的. 请举一反例予以否定：

（1）设（2）设（3）设（4）设可导.

而

若f 在点可导，则若在点可导若在点可导在

若f 在点可导，则

在点

可导；

一定不可导；

在点不可导，则f 在点

在点可导；

则

在

处

在点不可导，则f 在点一定不可导.

【答案】（1）命题错误.

如取

处都不可导.

（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点可导，又因在点题设矛盾.

（3）命题错误.

如取但

处处不可导. （4）命题错误.

如取

则

也可导，则在也可导. 这与

处处可导.

在

不可

，

则（狄利克雷函数）

在

可导

导，

而在可导.

8． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积。

图

【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到