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一、证明题

1． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a，b]内可积，证明:对[a，b]内任意分割

有

【答案】由积分的定义知

且

由于

可积，所以

(

所以

所以原命题成立.

2． 证明：若

【答案】由于得当n>N时

即且

则因此，当

存在正整数N ，使

时，有

又因为

3． 设

【答案】设

由迫敛性

并且对于任何

则有

对上式两边同时求导，得

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为振幅)

根据数列极限的保号性知，对任意的

常数，证明

有

即

于是对两边取转置又得

二、解答题

4． 讨论复合函数

与

，

的连续性，设

【答案】（1）因为

所以

故x=0为（2）

于是

故在所以

5． 求下列极限：

【答案】(1) 因

所以

(2)

6． 求螺旋面

【答案】由于为

的面积.

所以曲面积

处有跳跃间断点，在其他点连续. 因为

处处连续.

的可去间断点，即

在

上连续.

故

在R 上连续. 又

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7． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）：

【答案】（1）原式

由此可见，

由于（2）原式

由此可见

由于

三个量都非整数，从而原式不可积. 三个量都非整数，从而原式不可积.

8． 利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积：

【答案】(1) 令

从而

(2) 令

则

从而，所求体积

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