2017年广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)[专硕]之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：函数
在点(0, 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点(0, 0) 不连续，而f 在点(0, 0) 可微. 【答案】当
时
当
时
但由于因此当
时
在点(0, 0) 不连续，然而
所以，在点
2． 设函数f 定义在
(1
) (2
)
可微且
上，证明：
为偶函数； 为奇函数； 而
不存在(可考察y=x情况) ，
的极限不存在，
从而
在点(0, 0) 不连续.
同理可证因此f 在点(0, 0) 连续.
(3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.
【答案】f (x ) ，F (x ) 和G (x ) 的定义域关于原点都是对称的. (1
) (2
)
(3) 由(1) 、(2) 得F (x ) +G(x ) =2f(x ) , 于是数. 故f (x ) 可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.
3． 设f 为上的递增函数. 证明和.
故F (x )
为故G (x ) 为
而
上的偶函数. 上的奇函数. 是偶函数，
是奇函
都存在，且
【答案】
①取
•即f (x ) 在
是对任给的
②
存在
使得即
同理可证.
) . 因为f
为
，令故
上的增函数，
所以对
上有上确界，令则
并当
.
有F 时，有
上有上界. 由确界原理知f (x ) 在
二、解答题
4． 将直角坐标系下
【答案】设
方程
则
类似可求
因此
5． 求下列方程组所确定的隐函数组的导数
.
【答案】(1) 设方程组确定的隐函数组为
对方程组两边x 求导，得
解此方程组得
(2) 方程组关于求偏导，得
化为极坐标下的形式.
解得：
方程组关于y 求偏导数，得
解得
(3)
把
看成
的函数，对求偏导数
解之得
6． 判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：
（1）若（2）若而数列
当
示为
7． 求
和
都收敛，则和
是发散的.
存在正整数
今
使得当
时
，
时
当
时，
即
则n 可以表
收敛；
收敛.
数列
和
都收敛，
则
都收敛，且有相同极限，则
【答案】（1）该结论不成立. 例如，
（2）该结论成立. 设相同的极限是a ，则对于任意
其中m>N，r=0，1，2时，
所示平面图形绕y 轴旋转所得立体的体积。
【答案】
8． 利用上题所得递推公式计算：
【答案】⑴
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