2017年长沙理工大学F1003概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 有两个班级同时上一门课, 甲班有25人, 乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分, 标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记绩
,
为甲班第i 个学生的成绩
, 因为
为乙班第j 个学生的成所以由林德伯格-莱维中心极限
定理, 甲班平均成绩超过80分的概率为
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为
所以甲班的平均成绩超过80分的概率大.
2． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是
从而
有
，现
查表知
即
故R 的
3． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为
表
试求顾客在商店平均购买服装件数. 【答案】
故R
的置信上限为
置信上限
为
与
若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比
的
4． （1）某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为：
有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用w 检验方法作检验（【答案】（1）首先应对数据进行对数变换. 记在下表中，
由此可算得
表
）.
）.
（2）对（1）题的数据，试用EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取
则25个y 的观测值可算出，我们把它列
从上表中可以计算出W 的值：
当n=25时，查表知故在显著性水平
拒绝域为
由于样本观测值没有落入拒绝域内，
上不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布.
在附表11中通过线性插值得到n=25时的0.95
分位数约为
计算得到的
小于该临界值，因此在显著性水平
（2）该问题可按计算TEP 的框图用任一种软件编程计算，这里用SAS
软件编程算得
若取显著性水平
0.05下接受这些数据是来自正态总体的.
5． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.
（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；
（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.
【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得
（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得
6． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
x ＞0, θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.
于是
由此给出
7． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
【答案】（1）不难写出似然函数为
对数似然函数为
将之关于求导并令其为0得到似然方程
解之可得
而故
的最大似然估计.
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
（2）此处的似然函数为
它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是而的最大似然估计可取
中的任意值. 这说明MLE 可能不止一个.
因