2017年长沙理工大学J0701概率论与数理统计(同等学力加试)考研复试核心题库
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2017年长沙理工大学J0701概率论与数理统计（同等学力加试）考研复试核心题库（一） ... 2 2017年长沙理工大学J0701概率论与数理统计（同等学力加试）考研复试核心题库（二） ... 7 2017年长沙理工大学J0701概率论与数理统计（同等学力加试）考研复试核心题库（三） . 14 2017年长沙理工大学J0701概率论与数理统计（同等学力加试）考研复试核心题库（四） . 19 2017年长沙理工大学J0701概率论与数理统计（同等学力加试）考研复试核心题库（五） . 27
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一、计算题
1． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间
【答案】
是什么？
2 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．
为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？
【答案】记
为第i 只零件的质量, 由
得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787.
3． 设
是来自密度函数为
的样本，
（1）求θ的最大似然估计它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求θ的矩估计
它是否是相合估计？是否是无偏估计？
【答案】（1）似然函数为
显然L （θ）在示性函数为1的条件下是θ的严増函数，因此θ的最大似然估计为又
的密度函数为
故
故不是θ的无偏估计，但是θ的渐近无偏估计. 由于
且
这说明是θ的相合估计. （2）由
于
，所以
这给
出
，从而有
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所以θ的矩估计
为
又
这说明既是θ的无偏估计，也是相合估计.
4． 设A ，B ，C 两两独立，且.
（1）如果（2）如果
试求x 使且：
达到最大.
求P （A ）.
而不要求
之不然. 这里由A ，B ，C 两两独立，且
（1）由P （A ）=P（B ）=P（C ）=x知三项式的最大值在x=0.5达到.
（2）由解得两个解为3/4和1/4，而x=3/4不符题意，所以得x=1/4.
5． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率
【答案】掷两颗骰子的样本空间为
成立. 可见A ，B ，C 相互独立必导致两两独立，反可得
而
这个二次
【答案】三个事件A ，B ，C 两两独立是指仅成立
因为
所以
于是所求概率为
6． 一地质学家为研宄密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表：
表
【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为（10, P ）的二项分布，即
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由此得
为样本，则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程
解之得
由于
由二阶导数的性质知，P 的最大似然估计为
7． 总体的长度不大于k.
【答案】由已知条件得的0.95置信区间为
其区间长度为
若使
即样本容量n 至少取
置信区间的长度不大于k.
8． 设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为
已知事件
独立，且
求常数a.
由此解得P （A ）=0.5，进而由
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，已知，问样本容量n 取多大时才能保证的置信水平为95%的置信区间
只需由于，
故
时，才能保证的置信水平为95%的
，从而
【答案】由同分布可得P （A ）=P（B ）