2017年成都信息工程大学概率论与数理统计(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 盒中有n 个不同的球, 其上分别写有数字1, 2, •••, 再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.
【答案】记X 为抽球次数, 则X 的可能取值是2, 3, ….且有
又记得
2． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：
（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.
（2）因
为
而当
时，有P （AB ）达到最小值0.4.
3． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ）
4． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：
（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.
【答案】（1）设该书样稿中总错字的个数为甲校对员识别出错字的概率为出错字的概率为
根据频率替换思想有
由独立性可得矩法方程
解之得
乙校对员识别
由于甲、乙是彼此独立地进行校对，
则同一错字能被甲、乙同时识别的概率为
所以有
所以当P （AB ）=P（A ）
则y=X-1服从参数为p 的几何分布, 因此
由此
每次随机抽出一个, 记下其号码, 放回去
（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即
譬如，若设a=120, b=124, c=80, 则该书样稿中错字总数的矩法估计为
而未
被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个.
5． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是
从而
有
，现
查表知
即
故R 的
6． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本，求位置参数的置信水平近似为
【答案】由于此柯西分布关于对称，故是总体中位数. 其样本中位数
从而可知位置参数的置信水平近似为
7． 设X 与Y 的联合密度函数为
【答案】当
时, p （x , y ）的非零区域与
试求Z=X-Y的密度函数.
的交集为图阴影部分, 所以
的置信区间为
的置信区间.
所以
故R
的置信上限为
置信上限
为
与
若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比
的
图
在区间（0, 1）外的z 有
8． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.
. 利用棣莫-拉普拉斯中心
二、证明题
9． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
10．设
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
列联表：
11．设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成
表
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为