2018年陕西师范大学旅游与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足
AB=£
；的所有矩阵为其中为任意常数
.
2． 求个齐次线件JTP 技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，设所求的方程组为
由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为 3．
已知
与
相似.
试求a
, b
, c 及可逆矩阵P ，使故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
【答案】
由
于故B 的
特
征值为
从而B 可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，得
有即a=5.
由
得A
，B 有
相同特征值，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得：令
有
. 因此
即
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记
则P 可逆，
且 4．
设
记
证明：
为三维单位列向量，并且
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
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