2018年上海财经大学公共经济与管理学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为 2．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】由
于故B 的特征值为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P 可逆，
且
3． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
线性无关，得
整理得
，由
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
4．
已知
通解是
.
,
证明
【答案】
由解的结构知
有无穷多解
. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
是4
阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量.
若齐次方程组Ax=0
的的基础解系
.
又由
得
因与
可知综上可知，
有
即故都是
的解. 由
线性无关. 由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5． 求解下列齐次线性方程组：
（1）
（2）