2018年上海财经大学公共经济与管理学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
又由
得
因
与
可知综上可知
，
3．
设
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
记
那么
为三维单位列向量，并且
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
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【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
故A
有零特征值
的非零解即为对应的特征
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
4． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
则
即A
相似于矩阵
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
二、计算题
5． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1
）（2
）（3
）
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【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，
故把含的项归并起来，配方可得
令
即
写成矩阵形式：x=Cy，这里
为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：
（2）由于f
中含变量的平方项，
故把含的项归并起来，配方可得
令
即
写成矩阵形式：x=Cy，
这里
为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：
（3）由于f （x ）中含变量xl 的平方项，故把含xl 的项归并起来，配方可得
令
即
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