2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
求
【答案】
A 的特征值为
则
取一个解
它是A 的属于特征值为1的特征向量.
则
取一个解
它是A 的属于5的特征向量.
则
取一个解令
则
故
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属于1的特征向量设为
属于5的特征向量设为
属于-5的特征向量设为
它是A 的属于-5的特征向量.
2． 计算n 阶行列式
【答案】解法I 拆项法. 按第一列把列加，得
拆成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列都乘
往下一
再将
按另一种方法拆项，类似可得
（1）当
时得
当x=y时，由（1）并进一步可得
即（3）式也是对的. 解法II 用数学归纳法证明.
即先计算特殊的有效的. 由直接验算易知：
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得
从中得出结论再用数学归纳法证明一般结论的方法. 此法往往是
于是推测假设当对
时（4）式成立，下证n=k时（4）式成立• 按第一行展开，得
但由归纳假设，将
代人上式，得
即（4）式对n=k也成立，得证.
3． 设式
并举例说明条件“次数【答案】（1）当（2）当
是不可缺少的.
中有两个数相同时，①式显然成立（•. •有两行相同）.
互不相同时，令
由于（i ）若均有
（3）条件“次数再取
的次数
则
因此F （x ）只有两种可能. 此时F （x ）最多只有，
即有n-l 个根，矛盾，即
再将x=a，代入，即证①式.
是不可缺少的，比如设n=3, 且
这时①式左端为
即①式不成立.
4． 解线性方程组
其中
，为各不相同之数.
个不同根但由②式，将
代入
且
是关于z 的次数
的多项式.
为任意数，证明：行列
【答案】用初等变换将増广矩阵化简：
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