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一、分析计算题

1． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和为3, 向量

的两个解.

（1）求A 的特征值与特征向量. （2）求正交矩阵Q 和对角阵D ，便（3）求行列式【答案】（1）由到A 是3阶矩阵，故不全为0的实数；

（2）将

正交化，则

再单位化，得

将单位化，得

令

则Q 是正交矩阵，D 是对角阵，且（3）由A 的全部特征值为B 的全部特征值为

且

则于是

2． 证明：非零实二次型f 可分解成两个实系数一次齐式相乘差是0.

【答案】设若

成比例，设

则可对f 施行以下满秩线性代换

的秩是1或f 的秩是2且符号

的全部特征值为

由

则

是线性方程组

其中B 是

的解，则

的相似矩阵，

是B 的伴随矩阵.

的两个线性无的特征向量. 注意

是

是线性方程组

是A 的属于特征值是A 的属于特征值

关的特征向量. 由A 的各行元素之和为3, 则

是A 的特征值，对应的特征向量分别

化成若

由于

故因此，此时f 的秩是1.

不成比例，

不妨设

与

不成比例，从而

则

此时可对f 连续施行以下两个满秩线性代换

得故此时f 的秩为2且符号差为0.

由于

的线性组合，故可知f 可分解为两个实系数一次齐式相乘.

反之，若f 的秩为1，则f 可通过实满秩线性代换X=PY

化为正规形

若f 的秩为2且符号差为0，则f 可通过实满秩线性代换X=CY化为

但由之积.

3． 证明：实二次型.

【答案】二次型f 的矩阵为

的秩和符号差与无关.

知，

都是

的线性组合，从而可知f 是

的两个一次齐式

对A 作合同变换，将A 的第一行乘以一i 加到第i 行上，i=2, 3, …，n ，得

再将第一列乘以一i 加到第i 列上，i=2, 3，…，n ，得

则A 与B 合同. 将B 的第二行乘以加到第一行，再将第二列乘以加到第一列，得

则B 与C 合同，且C 的秩和符号差与无关. 注意到A 合同于c , 故A （即f ）的秩和符号差

与无关.

4． 设A 是n 级反对称阵，证明：

（1）当为奇数时，（2）A 的秩为偶数.

【答案】先证若A 是反对称阵，则有在实可逆阵T ，使

当n 为偶数时，

是一实数的完全平方；

，结论①显然成立. 用数学归纳法，当n=l时，A=（0）当n=2时，若

若a=0时，结论①成立.

同时第2列也乘

即

即A 与

合同. 结论①成立.

时成立. 再证n=k+l时，设

若A 的最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设这结论已经成立. 不然经过行列同时对换，可设

那么最后一行和最后一列同乘以

则A 合同于

对偶作初等变换，第2行乘

归纳假设结论对