2017年郑州大学联合培养单位许昌学院915高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：
【答案】证法I 因为因此，证法II
因为
2． 设A 是一
故
的
个根
是互异的n 次单位根，故
可逆矩阵P 使
的后
行全为零.
故代入后整理可得
矩阵，且秩证明：存在一
【答案】方法1设A 的行向量组的极大线性无关组由第无关组，设某个第j 行，
j
则将第j 行减去第1行的倍，减去
零. 每个第j 行，为零.
行组成，则可用几次互
换两行的变换分别将它们移到第1，2, …，r 行上，不妨设A 的前r 行就组成行向量组的极大线性
是第1行的U 音，第2行的倍，…，第r 行的倍的和， 第2行的倍，…，减去第r 行的倍，结果这一行成为都进行上述的初等行变换. 则A 的第
行全变
上述所有初等行变换的乘积相当于用某个可逆阵P 左乘A ，即存在可逆阵P 使
则再用零，故
右乘上述矩阵，相当于对它进行一系列初等列变换，其结果是后面的后面
行全为零.
用
右乘上行仍保持为
Q 使PAQ 成为标准形，方法2秩A 为r , 则有可逆阵P ，即
述矩阵，如方法1中所证的一样，仍使结果保持后n-r 行为零. 即
的后n-r 行全为零.
3． 设分块矩阵
（1）（2）
【答案】（1）因为两边取行列式得
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其中A 、D 都可逆，证明：
（2）
4． 设复数域上n 次多项式.
证明：
的所有根也在上半复平面.
则
现任取一复数
的
虚部系数
因此
且
故
5． 证明
：
【答案】因为
是半正定矩阵. 即
的根都在上半复平面. 且虚部系数
由假设f （x ）的所有根都在上半复平面，即每个
【答案】设f （x ）在复数域内的n 个根为
的所有根都在上半复平面.
其中C 是行满秩的，所以是A 半正定矩阵.
6． 设A 为n 阶方阵，证明:
【答案】当而所以
当当显有当
时，有时，有
时，
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从而
时，有
结合时知 故仍有
为其中
的最小多项式. 证明：如果
7． （1）
设
为n 维线性空间V 的线性变换
，
且
与
互素，则
（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基多项式
由于从而有
并对于
下的矩阵为求的最小
的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.
使
（E 为恒等变换）
互素，
所以存在多项式
【答案】（1）证明：由题设
这样，令同理可得
，有
则有
此说明所以由此可得又所以即综上可得（2）设由于取由（1）知这里又
可得A 的特征多项式无解，所以A 的最小多项式
显有两者互素.
分别与如下齐次线性方程组
的一个基础解系分别为
的解空间同构，且所以有
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