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一、分析计算题

1． 设W

是

的非零子空间, 对于W

中每一个向量

证明:

【答案】由设所以

则

故是W 的基, 且

2． 设A 是非退化实矩阵, 则它是一个正交阵和一个正定阵的乘积.

【答案】A 是非退化实矩阵, 则A'A 是正定阵. 有正定阵C 使得于是的乘积. 3． 设

即

是正交阵. 因此

是正交阵与正定阵

这里

则线性无关.

因为

或

全为0,

或

全不为

A , B，

均为n 阶可逆矩阵，证明：

得

故

仍可逆. 注意到故

于是

仍可逆，并

求

【答案】由于是

4． 计算

【答案】在原行列式上加一行，加一列，得

5． 取何值时以下方程组无解、有解？并求其解

:

【答案】对增广矩阵施行初等行变换：

由

可知，

当

即

性方程组.

可得原方程组的一般解为

6． 求

设

1，-1/2时，

即

1,

时原方程组无

解. 当

的线

原方程组有无穷多解，且解增广矩阵为

【答案】

故