2018年河南大学数学与统计学院908数学分析[专业硕士]考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛:
（1）（2）【答案】对
,
其中
.
, 由于（不妨设m>n）
而（2）对
, 所以存在正整数N , 当n>N时有
. 即数列{Xn }收敛.
, 由于（不妨设m>n）
取
2． 证明:若
【答案】因为于是当
时, 有
, 则当m>n>N时有
则对任一正整数k , 有
所以, 对于任给
所以
收敛:
, 所以数列{Xn }收敛.
存在N , 当
因此
时,
,
. 且
;
于是当m>n>N时有
3． 应用柯西收敛准则, 证明以下数列
（1）（2）
【答案】（1）设
则有
因为
（2）设
于是对任意正数
（不妨设则当则有
对任给的收敛.
4． 设正项级数
（1
）（2）在
发散.
用分点
及
单调性, 得
从而
当
时,
, 即得结论.
因单调下降且趋于0,
及
发散. , 使
,
有
故由收敛原理知
发散.
于是对
’,
分成无限个小区间,
上, 由
发散,
, 令
, 求证
:
取
则对一切
有
由柯西收敛准则知, 数列
时,
）
, 必存在N
, 使当
时
, 有收敛.
即取
由柯西收敛准则可知, 数列
【答案】（1）把
（2）方法一:
我们考虑级数
故级数
收敛, 于是由第（1）小题推出级缴
, 所以
方法二:因对任意固定的n ,
二、解答题
5．
设函数
【答案】
, 求
6． 设函数f 在
上具有二阶导数, 且
.f 在（0
, a ）内取得最大值. 试证
:
是
f 的一个极值点. 由于
和
上对,
其中 7． 计算
的法向与z 轴正向成锐角
.
【答案】I 应分成三个曲面积分进行计算, 对于
. 因而积分对于
;
, 它在yOz 平面上投影区域D 为
, 曲面
, 由于曲面S 在xOy 平面上的投影曲线
, 其中S 是柱面
在
和
的部分, 曲面侧
因为
’, 所以
并且f 应用拉格朗
【答案】设
f 在（
0, a ）内的点
在（0, a ）
内具有二阶导数, 根据费马定理, 日中值定理, 得到
取得最大值, 于是
, 分别在区间
, 曲面S 的方程为
侧的法向与X 轴正向成锐角, 是正侧, 因此
对于面块S 1和S 2.
设
xOz 上投影区域也为
, 它在xOz 上的投影区域为, 曲面的侧是负侧, 因此
曲面S 的方程为, 它在zOx
平面上投影区域
为曲面所
指定的侧有部分与y 轴正向夹角为锐角, 有部分与y 轴正向的夹角为钝角, 因而要将区域分成两曲
, 曲面的侧为正侧; 设
, 它在
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