2018年河北师范大学910数学分析与高等代数综合之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 求证含参量广义积分
【答案】任取（1）当a>0时, 因为（2）当a=0时,
且充分小, 使得
的任何有界闭子区间上一致收敛.
的有界闭子区间[a, b] （a 收敛, 所以广义积分 当B>A>0时, 有 ①若 ②若故当 则 因为广义积分时, 即 时 , 关于 时, 所以广义积分 收敛, 所以存 , 当 时 在[0, b] 在[a, b]上一致收敛. 综合①, ②讨论, 当 上一致收敛. 由（1） （2）可知, 广义积 2． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明: （1）（2）【答案】将又因为 的任何有界闭区间上一致收敛. 代入欧拉公式, 得 比较上面两式的实部与虚部可得 二、解答题 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 3． 对幂级数 （1）求收敛域 ； （2 ）求和函数； （3）讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性 . 【答案】（ 1）由于 故（2）令 所以收敛半径为1，又 的收敛域为（﹣1，1）. ，则 其中 由于 故（3）取 ，则 . 不趋于0 , 于是 所以 发散， 在（-1, 1）上不一致趋于0, 故该幂级数在收敛域上不一致收敛. 4． 设曲线方程, , 求它在下列点处的切线方程与法线方程: （ 1） （2）【答案】 （1 ） 于是曲线在点 即 （2） 于是曲线在 处的切线方程为 ； . , , . 即 , 法线方程为 处的切线方程为 , 即 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 法线方程为 5． 设函数 求: （1） （2） 【答案】 （1）（2） 6． 设 （1）求f （x ）的傅里叶级数; （2）级数是否收敛? 是否收敛f （x ） ? （ 3 ）级数在【答案】（1） 内是否一致收敛? 上 （2）f （x ）满足收敛定理条件, 所以f （x ）的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在 （3）因为f （x ）的傅里叶级数的和函数在一致收敛. 7． 设f 为区间, 上严格凸函数. 证明:若格凸函数知, 对任意 总有 因此, 对于任意的 , 只要 充分接近0, 总有 内不连续, 所以级数在 内不 为f 的极小值点, 则 x 0 为在I 上惟一的极小值点. , 不妨设 , 由f 是I 上的严 【答案】反证法. 若f 有异于x 0 的另一极小值点 但是 , 这与是f 的极小值点矛盾. 故x 0是f 在I 上的惟一极小值点.