2018年厦门大学国际经济与贸易系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
得
故
知
故
【答案】
由题意知
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，解得其基础解系为
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是矩阵
即
时
为任意常数. 此时方程组无解. 时
此时方程组无解.
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
4． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
是3维线性无关列向量，且
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5． 证明:
（1
）
（2
）
（3
）
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