2018年厦门大学国际经济与贸易系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
2． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
故所求的方程组可取为
解得此方程组
将
代入得，
构
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
3． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明
的规范形；
且秩
的值.
是正定矩阵，
并求行列式
[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
即或
贝
因为A 是
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
4．
设矩阵.
【答案】
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
二、计算题
5． 利用逆矩阵解下列线性方程组：
【答案】将方程组写作矩阵形式Ax=b, 这里，A 为系数矩阵，为常数矩阵.
（1
）因
故A 可逆，于是
为未知数矩阵，b
即有
（2
）因故A 可逆，于是
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