2018年厦门大学财政系396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 已知A
是矩阵，齐次方程组
的基础解系是次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
又知齐
与有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
线性表出，也可
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
4． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
其中t 为任意常数.
矩阵A 满足AB=0, 其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得