2018年青海省培养单位青海盐湖研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故 2．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（
Ⅲ）
当
时，
此时
A
有
二重特征值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
3． 证明n 阶矩阵与相似.
【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
4． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
故
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
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