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一、证明题

1． 设

在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：

其中

是

沿L 外法线方向n 的方向导数.

所以

因为

在D 上具有连续偏导数，由格林公式得

故

2． 已知平面区域

(1) (2)

【答案】(1) 方法一由于

所以欲证的等式成立. 方法二由格林公式，有

因为D 关于直线y=x对称，所以左边=右边. (2) 方法一由(1) ，利用平均值不等式得

方法二由(1) 得

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【答案】因为

L 为D 的正向边界. 试证：

3． 设连续函数

【答案】

用反证法. 若

(1)

若(2)

若(3) 若存在令所以存在(4) 若存在从而存在：

4． 设定义在

使.

上连续函数列

则

那么那么

其值域

则一定存在

使

则可分四种情况讨论.

这与①式矛盾. 也与①式矛盾.

使

使使

满足关系

即

这与假设

类似可得矛盾.

矛盾.

对于在的可积函数f ，定义

证明收敛，且有不等式

【答案】设依题意可知

均在上可积

.

其中

所以故

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即级数

的部分和有上界，从而收敛，且

二、解答题

5． 设有力

向

试求单位质量

M ，沿椭

圆

移动一周(从z 轴正向看去为逆时针方向时) ，力F 所作的

功.

【答案】此即为求曲线积分

由Stokes 公式，

其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面，方向为上侧，由于

所以

令所以

6． 求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：

在x=l处；

在x=0处.

【答案】

当n>3时当n>3时

于是，

故所求泰勒公式为

其拉格朗日型余项为

0.

于是

故

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¥面，故

则且