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一、证明题

1． 证明：

对

一致收敛.

【答案】这个积分有无穷多个奇点，所以需要将这个积分写成级数形式

.

对而言，t=0为奇点. 由对而言，综上可知，

2． 设f (x ) 在

【答案】

由泰勒公式有

其中

甶0与x 之间

.

而f (0) >0，由介值定理，至少有一点

3． 设f ，g 为定义在D 上的有界函数，满足

(1) (2)

【答案】(1)

设

只需证

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的收敛性知，在[0, b]上一致收敛. 的收敛性知，在[0, b]上一致收敛.

为奇点. 由

在[0，b]上一致收敛. 上具有连续二阶导数，又设

则在区间

内至少有一个点

使

使

证明：

因对一切

有

于

是，是f (x ) 的一个上界，而

(2)

设

是f (x ) 的最小上界，故只需证

因为对一切

有

于是

是

g (x ) 的一个下界，而是g (x ) 的最大下界，故

4． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明：若点极限都存在，则

在内有

开覆盖.

(2) 利用致密性定理解:反证法。假设使

得

则

矛盾。

(3) 利用区间套定理解:反证法. 假设使得论 收敛.

【答案】对任意的

使从而

6． 设数形式. 令

是由方程代

则

所确定的隐函数，试求

因为

收敛，所以

在每个区间

在点邻域内的有界性，推出矛盾.

在

在

于是得到数列

由致密性定理

，在

上有界.

设

即

【答案】(1) 利用有限覆盖定理解:由已知，

在上有定义，且在每一则

使得在

的一个

以此构造闭区间

上无界，则对任意正整数n ，存在

. 中存在收敛子

列

设

上无界，则利用二等分法构造区间套

然后讨

上无界. 由区间套定理，存在唯一的

5． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且

上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛.

【答案】

欲将从所给的方程中解出来是非常困难的，甚至是不可能的，因此，必须引入参入所给的方程可得

故

二、计算题

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7． 设函数下，方程

在区间内连续，函数

在区间内连续，而问在怎样的条件

能确定函数

并研究例子：

【答案】设

故由教祠(i ) 设

由于

8． 讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性：

(1)

(2) 【答案】(1) 因为

所以

②当

时

，

当x=l时，

在[0, 1]上连续，而极限函数f (x ) 在[0, 1]上不连续，所以{f(x ) }在[0, 1]上不一致收敛.

③因为

所以(2) 而

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显然

注意2知，

若

由于

在上连续

.

即存在点

都在R 上连续，且

可确定函数

故方程

不能确定函数

所以

，满足

又

就可在

附近确定隐函数

故由上面的结论知方程

故