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一、证明题

1． 试证明：函数阶偏导数) 。

【答案】F 的等值线为故等值线在点的法向量

2． 设f 为R 上的单调函数，定义是，g 的定义域是R ,

由于

即

就有

即当

由的任意性知，g 在R 上每一点都右连续.

3． 设在

【答案】由即在

在

上连续，且

证明

当

时，有

内有界，又由上有界. 设

将

在

上连续知，分拆成两项

对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得

4． 按一致连续的定义论证：

(1

)

在

上一致连续；

在点的梯度恰好是F 的等值线在点的法向量(设F 有连续一，它在点的切线方程为

. 即结论成立.

证明在R 上每一点都右连续.

极限使得当

时，把y 限制在

故g (x )

在

都存在. 于

时

内，

右连续.

【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理，对一切

对于任给的

于是，当时

存在

知，对于数1，存在从而

上有界.

综合上面可得

在

其中第一项当时必趋于零. 事实上

使

从而

时，所以

(2) 在上一致连续. 取时，有

时，不妨设

则有

上一致连续。

(不妨设

) ，有

时，分两种情形讨论

.

所以

【答案】(1)

在

(2) 运用不等式：

(应用了式(1))

5． 证明：反常积分

【答案】因为

所以在

在上一致连续. 上一致收敛.

所以有又因为

收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法可知，反常积分

6． 若

级数

发散，

收敛.

证明：

在上一致收敛.

发散；(2)

【答案】(1) 用柯西准则 . 取在

适当大，可使

(固定) ，取

于是有

由于趋向于所以对固定的存

由柯西准则知，级数(2) 因为

所以

而级数

收敛于

故

收敛。

发散。

7． 证明：函数

【答案】因为

为常数) 满足拉普拉斯方程：

所以

二、解答题

8． 设函数

在

由中值定理

所以由式. 因

因而

中点列

求

从而

所以 9． 设有

【答案】因为

所以

10．确定下列函数的凸性区间与拐点：

【答案】故y 的凹区间为

凸区间为当

的凸区间为

时由于

由

得的拐点为

，

当

（即

当

时

故y 的凹区间

为

时，

当

时，

据上述结论知

对X 的任意性，知

与X 无关，即

再求U 关于

的函数

上有

在

试求关于上连续

的函数式. 则

对

上任意两点

【答案】

首先证明若

）无实根，故y 无拐点。