2017年海南师范大学数学与统计学院905高等数学[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 用有限覆盖定理证明根的存在定理，即设在
使得
证明:用反证法假设【答案】不妨
设
均有一个开覆盖.
由有限覆盖定理，存在H 中有限个互不相交的开集即
注意到k 是有限个，
所以
因此存在
2． 设正项级数
【答案】
收敛. 证明：级数收敛，则
令
则
级数
的部分和为
从而级数
收敛。
也收敛，其中
使得
在
上每一点的函数值都同号，这与
矛盾.
将区间
覆盖，
让取遍
可得一个开集
，它构成了
的
由
在
上的连续性
，
使
得
在闭区间
上连续，且
则存
3． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a，b]内可积，证明:对[a，b]内任意分割
有
【答案】由积分的定义知
且
由于
可积，所以
(
所以
所以原命题成立.
4． 设
【答案】因为又由
与
是[a, b]上的单调函数，证明：若
与
都绝对收敛，则
在
为振幅)
[a, b]上绝对且一致收敛.
是[a, b]上的单调函数，故对任意
> 均绝对收敛，
得收敛，从而在[a，b]上绝对且一致收敛. 收敛
，又因为
即
绝对收敛，则级数
收敛，则其部分和数
列
收敛，从而
绝对收敛，由阿贝尔变换知
又由即
所以即
在[a, b]上
一致收敛，即
5． 证明：若级数
也收敛.
有界. 设存在正数M , 使
得
【答案】因为级
数
收敛可知收敛. 设
则
收敛.
6． 设f (x ) 处处连续，
(1) F (x ) 对任何x 有连续导数；
其中为任何正数，证明：
对一切
(2) 在任意闭区间[a, b]上，当足够小时，可使F (x ) 与f (x ) —致逼近(即任给
均有【答案】
(1
)
因为f (x ) 处处连续，所以
(2
)
所以由洛必达法则可得
故对任给
当足够小时，对一切
均有
即所证结论成立.
并求
7． 证明对任意自然数n ，方程
【答案】令
连续函数的零点定理知，
又从而
对
两边取极限得
在[0, 1]上存在惟一的零点，即方程
则.
在[0, 1]上有零点.
所以.
在[0，1]上单调.
1]
上总有惟一实根在区间[0，
连续，即F (x ) 对任何x 有连续导数.
在区间[0, 1]上总有惟一实根
因此，由
二、解答题
8． 设
记