2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求微分方程满足初值条件的特解
：
【答案】
设
方程化为
积分得
解为、. 代入初值条件，
有
特解为
2．
当
求出方程组
的奇点，确定其类型，并判断其稳定性.
【答案】
将系统写为
其中
考虑它的一次近似系统
则O （0, 0）是原系统及①的惟一奇点，
其系数矩阵的特征方程为
所以特征根为
当
定结点；时，
两特征根为相异实根，并且都大于0,
所以奇点为原系统的不稳
当
当
稳定节点. 时，两特征根时
，两特征根为一对共轭复根，
所以奇点为相等实根，
且为原系统的不稳定焦点；所以奇点为原系统的不
3． 考虑方程组
其中函数
一阶偏导数于域
D 内连续，在单连通区域D 内有连续偏导数，
假设存在函数其在D 内不变号且在
D 内的任一子域内不恒等于零. 试证明上述方程组于域D
内不存在任何周期解.
应用此结论证明方程
没有极限环存在
，
其中为常数，
且
【答案】假设D 内存在周期为T 的周期解
根据格林公式，对于由
T
所围成的区域
有
所以在区域
这与已知
在任何周期解.
令
化为方程组上恒有
成立. 在D 的任一子域内不恒等于零相矛盾，故原方程组在D 内不存则可将方程
取则
所以方程不存在任何周期解，当然更没有极限环存在. ． 求解微分方程组
：
【答案】
由题意得相应齐次线性微分方程的系数矩阵为
特征方程为
所以特征值为
易得特征值对应的特征向量分别为
所以方程组的基解矩阵为
故齐次方程的通解为
将①代入非齐次方程组得
所以
因此微分方程组的解为
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