2018年南通大学理学院802高等代数之常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
求已知曲线族
所满足的微分方程组.
【答案】对曲线族中两个方程关于x
求导得
由上式与曲线族可消去a 、b
得
2．
设
是微分方程在区间[a, b]上的解，试证明对于任意常数c
，
也是这个微分方程的解，并确定它的定义区间.
【答案】
因为
且因为
所以
即
定义于
3． 试证n
阶线性齐次方程也是方程的解，
又由于
定义于
所以
的n 个解线性无关的充分必要条件是这些解的朗斯基行列式在区间I 上恒不为零，
其中
及
，都是区间I 上的连续函数.
线性无关，要证明
【答案】先证明必要性（反证法）. 若n
个解
若不然，
则有
使得
即
则线性齐次代数方程组
有非零解，
记为
易知
知
即
再证明充分性. 若
若
（不全为0）.
为原方程的一个解，
且满足初始条件而X （f ）=0也是原方程的解，且满足初始条件由解的存在惟一性定理
1线性相关，与其线性无关矛盾. ，证明则代数方程组线性无关.
只有零解，由上面方程组的第一式知
，
4．
如果
在区间上是n
阶线性方程组线性无关.
的两个基本解矩阵，
那么存在一个非奇异
【答案】
因为
或
由于
于是常数矩阵C ，
使得在区间一定存在.
令
上
，为基本解矩阵，
故其逆矩阵是基本解矩阵，则它们是可微矩阵，
故知
是可微的矩阵，
且
由此推知
，
或
即为常矩阵，记为C. 因此，
有
5． 求微分方程满足初值条件的特解
：
【答案】
设
方程化为
积分得
解为、. 代入初值条件，
有
特解为
6．
试导出方程
充要条件.
【答案】
方程
分别具有形式为
具有
和的积分因子的的积分因子的充要条件是
即
令
则
即所以①式变为
当且仅当
.
分因子的充要条件为时，
可以解出所以，
方程
具有形为的积
同理，
若令
则