2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
求二阶微分方程
【答案】齐次方程的特征方程为
于是
代入方程
满足的解. 有2
重特征值
特解应设为
通解为
求导得
由初值条件有
即方程满足初值条件的解为
2．
求解微分方程组
【答案】
设
则特征多项式为
所以特征值为
设
将代入，
得到方程组
解得
所以基解矩阵为
故方程的通解为C 是任意常数列向量.
即
3． 证明如果在闭矩形域D
上
之不成立. 存在且连续，
则在D 上关于y 满足利普希兹条件，反
【答案】因为在闭矩形域D
上
有存在且连续，
所以在区域D 上有界，
即
成立，利用中值定理
，
其中
是介于之间的点，命题得证.
，
取以原点为中心的矩形域
在反之不成立，
因为对于方程
无导数，
但
故在D 上关于y 满足利普希兹条件.
4．
设函数
为偶函数且满足
求
【答案】这是微分一积分方程的求解问题.
因为
对方程
由于函数为偶函数，即
.
两边关于x 求导数，
得
上式化为
它是一个二阶常系数线性非齐次方程，
易得其通解为
由所给方程知
又因为为偶函数，
所以所求解满足条件
因此所求的函数为
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