2018年南通大学理学院802高等代数之常微分方程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
及连续，
试证方程为线性微分方程的充要条件是它有仅依
有仅依赖于x 的积分因子，接下来说明该方程是线性
满足
赖于x 的积分因子. 【答案】
充分性设的. 由于积分因子只依赖于X ，
所以存在某个
即
对上式积分后得
这里是关于X 的任意可微函数，这样，
原方程可以写成
这即证明了
必要性设方程是线性的. 是线性微分方程.
即存在
使得
这样
所以，
方程具有积分因子
这即证明了方程有仅依赖于X 的积分因子.
2．
求
【答案】
因的通解.
方程有积分因子
用乘全式，
有
方程有通解
3．
求
【答案】方法一不定积分法，
令
的通解.
则
解为，所以该方程为恰当方程. 从而得方程的通然后寻找二元函数U （x ，y ），使得
U （x , y ）=C.
由全微分的定义有
关于x 积分，
得
所以通解为
方法二 公式法，利用恰当方程求解方法3
中的公式得方程通积分为方法三 分组凑微分法，
去括号重新分组可得
积分，
得原方程的通解为
4． 试将下列的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题
（1
）
（2
）
【答案】（1）与之等价的一阶方程组的初值问题为
：
（2
）与之等价的一阶方程组初值问题为
5．
证明方程
【答案】
首先证明方程
令u=xy，
即
经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程：经变换可化为变量分离方程. 则原方程变为
即
所以原方程可以化为变量分离方程.
（1）方程
. 可以变形为