2017年西南石油大学地球科学与技术学院601高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 画出下列各曲面所围立体的图形：
【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示
.
图1 图2
2． 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x ，y ）处它的线密度为（x ，y ）. 用对弧长的曲线积分分别表达:
（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ，I y ； （2）这曲线弧的质心坐标
。
，【答案】（l ）设想将L 分成n 个小弧段，取出其中任意一段记作ds （其长度也记作ds ）（x ，y ）为ds 上一点，则ds 对x 轴和对y 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的转动惯量
（2）ds 对x 轴和对y 轴的静矩近似等于
以此作为静矩元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的静矩
从而L 的质心坐标为
3． 求球面
含在圆柱面内部的那部分面积。
。
【答案】如图所示，上半球面的方程为
由曲面的对称性得所求面积为
图
4． 把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为а的一扇形后围成一无底圆锥。试将这圆锥的体积表为а的函数。
【答案】设围成的圆锥底半径为r ，高为h ，则按题意（图）有
图
故
圆锥体积
5． 求下列各微分方程的通解：
【答案】（1）由因
（2）
由消去
有
解得
不是特征方程的根，
故可设消去解
得即
有a=1，即
故对应的齐次方程的通解为
是原方程的一个特解，
代入原方程得
故原方程的通解为
是原方程的一个特解，代入方程得
因
故对应的齐次方程的通解
为
故原方程的通解为
A=1不是特征方程的根，故设
（3
）由
=5x2-2x-1, 理，得
解得
是特征方程的单根。故设
故对应的齐次方程的通解为
因f （x ）
是原方程的一个特解，代入方程并整