2017年西安科技大学理学院612数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为
使得
上二阶可导函数
上满足拉格朗日中值定理，故存在得又因
为
使得
2． 设
为递减正项数列. 证明：级数
同时收敛，同时发散.
的部分和分别是
由此知，若又因为
由此知，若于是
3． 设
在与
收敛，则
有上界，故
也收敛.
收敛，则
有上界，从而
有上界，即
有上界，因此
有
收敛.
在
同理，存
在
使
由
于是
有
并存在一点
使得
证明至少存在一点
【答案】因f (x ) 在
上可导，由拉格朗日中值定理知，存
在
【答案】设正项级数
同时收敛，同时发散。 上有连续二阶导数，且
令
证明：收敛.
有
【答案】由题设，对
由得
在
上有连续二阶导数，知于是，
利用比较判别法，由于
4． 己知
收敛，则级数都是可微的
，
【答案】因为
故原式成立.
收敛.
证明：
：在
上绝对可积，即存在
使
二、解答题
5． 设
其中f (x ) 为可微函数，求【答案】由于函数
与
在定义区域内连续，所以
同理
6． 讨论狄利克雷函数
【答案】
对于任意的而
对于任意的正有理数r 有
总有
的有界性、单调性与周期性.
故
在R 上有界
.
可见，D （x ）在R 上不具有单调性
.
因此，对任意
有
所以，任意正有理数都是D （x ）的周期，即D （x ）是R 上的周期函数.
7． 求下列曲线的弧长：
【答案】
（2）曲线的参数方程为
于是弧长
（3）
（4）
如图所示。 （5）
（6）