2017年华东师范大学金融与统计学院626数学分析之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明下列各题
1． 设
为实数列，它满足不等式
【答案】由条件
知
将以上各式乘2后相加得
因为级数同理
于是
2．
设连续函数列
在【答案】
因为
即
取因此有又函数
在
一致连续，所以
又注意到
在
上一致收敛于
对上述
当
因此可得
这说明
在
上一致
收敛于
3． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1)
. (2
)
第 2 页，共 25 页
又级数 收敛. 证明：
收敛，所以由迫敛性知
在
在
上一致收敛于
上一致收敛于
又因为
上连续，
所以
在和
而
所以，
存在
在
在当
上连续，证明
：时
，
均有
上一致收敛于
上连续，一定存在最值，
上也连续，
因而在
有
时，
有
上
证明：
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
4． 证明：级数
【答案】考察
. 存
在
存在
是A+B的一个上界.
使
得即
使得c=a+b, 则设
于是
，
于是并
且
发散于
显然m 适当大时，有
从而
5． 1) 设
(1) (2) 若
则 证明：
(又问由此等式能否反过来推出
) ；
使
由于级数的通项趋于0, 故当
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1
) (2
) (3
) (4
) (5
) (6
) (7)
若(8)
若
【答案】(1) 因
为
于是当
则则时，有
第 3 页，共 25 页
所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
取
则当
时，有
故
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为(2)
令(3)
令
所以
则
如果a=0, 则
综上所述，有
由第1)(2) 题知，
则
由第1(2) 题知，
(4)
令
则
由第1)(2) 题知，
) .
(5)
令
则
由第1)(2) 题知，
第 4 页，共 25 页
又因为所以对上面
例如
可得
如果a>0, 那么
但不收敛.
由平均值不等式
且
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