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一、证明题

1． 试证明：二次型和最小值恰好是矩阵

的最大特征值和最小特征值. 【答案】设

令

Z 结合④式，得

由

知是对称矩阵

的特征值. 又f 在有界闭集值恰好是矩阵

的最大特征值和最小特征值.

2． 设

为[0, 1]上的连续函数列，

满足

证明

【答案】

由

又

由有

注意到对于每一个

存

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在单位球面上的最大值

上连续，故最大值、最小值存在，所以最大值和最小

且

存

在

有

对任意的

，

使

得则对任意的从

而

在[0，1]上一致收敛.

知，对任意

的

为[0, 1]上的连续函数列，故存

在，由开覆盖定理，存

在

为单调递增数列，现令

在

有

由此得到满足上述要求的覆盖[0, 1]的开区间

族

3． 设为无穷小数列，为有界数列，证明：存在正整数N ,

当所以

故

为无穷小数列.

又因为

为无

时，

有为无穷小数列.

因此，当n>N时

，

【答案】因为有界数列，故存在M>0, 使得对一切正整数n ，有

穷小数列，

所以对任给

4． 设

求证 注意到

则有

【答案】不妨设

二、解答题

5． 设有力

向

试求单位质量

M ，沿椭

圆

移动一周(从z 轴正向看去为逆时针方向时) ，力F 所作的

功.

【答案】此即为求曲线积分

由Stokes 公式，

其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面，方向为上侧，由于

所以

令所以

6． 根据图写出定义在

上的分段函数

和

）的解析表示式

.

则

且

¥面，故

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图

【答案】由直线的点斜式方程容易得到：

7． 求函数及它们的模.

【答案】

于是

8． 设

【答案】方法一作变量代换

则

方法二因为

所以

9． 1) 试求三角多项式

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在点及点：处的梯度以