2017年东南大学物理系715量子力学考研冲刺密押题
● 摘要
一、简答题
1． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
2． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
3． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
它的本征值
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】一级修正波函数为二级近似能量为其中
问
是否
4． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
5． 完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
6． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
的几率。
试述
及
位置
在处的几率密度
；
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
7． 如果算符表示力学量那么当体系处于
的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，其确定值就是在本征态的本征值。
8． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
9． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
10．波函数么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
表示在时刻
附近
体积元中粒子出现的几率密度。
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什
二、证明题
11．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
三、计算题
13．—体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
n=2时，将m=l, 3代入II 式可得
n=3时，将m=l, 2代入II 式可得
再分别由I 式、III 式、IV 式和V 式可得
14．设有三个
自旋算符
组成的系统，其哈密顿量为
试
现在受到微扰的作用，
微扰矩阵元为
和c 都是实数. 用微扰公式求
（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；
（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为
其中
能量与无关，可由
故系统的力学量完全集为完全确定