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一、证明题

1． 设与g

是定义在

收敛，则

【答案】因为收敛. 又因为

2． 证明：设f 为幂级数项，若f 为偶函数，则

【答案】由当

为奇函数时，

又

故此时有

当

为偶函数时，

又

3． 证明：若(1)

故此时有

存在且等于A ;

存在

当

又由条件(2) 知：当：^在1) 的某邻

域

时，在①式中，令

从而

即

得

内

时

1存在.

令1时，有

上的函数，对任何与

并且

它们在也都收敛。

和

根据比较判别法，

在

上的和函数，若f 为奇函数，则级数

都收敛，所以

也收敛。 仅出现奇次幂的

上都可积. 证明：若

与

仅出现偶次幂的项.

(2) y在b 的某邻域内，存在有【答案】由条件(1) 知：对任给

二、解答题

4． 设函数

的定义如下：

试依链式法则求下列复合函数的导数：

【答案】(1) 令则

(2) 令

则

(3) 令

则

(4) 令

则

(5) 令

则

(6) 令

则

5． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米. 计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。

【答案】如图所示，B 、C 的坐标为（0, 5）和（20, 3）. 于是BC 的方程为

深度为x 处水的静压强为故

闸门从深度x 到

这一窄条上受到的静压力为