2017年青海民族大学数学院821数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 用有限覆盖定理证明根的存在定理，即设在
使得
证明:用反证法假设【答案】不妨
设
均有一个开覆盖.
由有限覆盖定理，存在H 中有限个互不相交的开集即
注意到k 是有限个，
所以
因此存在
使得
2． 设函数列
函数(不要求一致有界) . 证明
：
【答案】
首先证明f (x ) ，g (x ) 在I 上有界. 而
所以
同理可证g (x ) 在I 上也有界. 设其次证明数
当因此
时有
当
时有
令，
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在闭区间上连续，且则存
由
让取遍
在
上的连续性
，
，它构成了将区间
使
得的覆盖，
可得一个开集
在上每一点的函数值都同号，这与矛盾.
在区间I 上一致收敛，且对每个n ，
在I 上必一致收敛.
存在正整数
使得
都是I 上的有界
故存在正整
在I 上一致有界.
由
，则有
最后证明n>N时，
有
取正整数N ，使得当
于是当n>N时，
有
故 3． 证明
【答案】令
则
所以
其中
在I 上一致收敛于f (x ) g (x ) .
二、解答题
4． 计算下列各题：
（1）（2）（3）【答案】 （1）
（2）（3）
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5． 计算积分
【答案】内层积分积不出来，不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形(见图)
图
于是
6． 设
【答案】
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