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一、证明题

1． 设函数在

【答案】

设

在

朗日中值定理，得到

其中

2． 用

因为

所以

方法证明

：

则

取

则当

时，有

即

3． 设

在

上连续，在

内可导，且.

证明：

【答案】将结论变形为

进而写成

由使

可以看出，首先应对

和在

上应用柯西中值定理. 这样就有

使得

上具有二阶导数，且

内的点

在

取得最大值，

于是

是的一个极值点. 由于

分别在区间

和

上对

并且

在应用拉格

内具有二阶导数，根据费马定理

，

内取得最大值. 试证：

【答案】令

在式(1) 中，若

再结合式(2) , 问题就解决了. 而对 4． 设

在

上连续，在

使

【答案】(1) 令

(2) 将结论中

换成即亦即或

由此可见，令

对

即

在

上应用拉格朗日中值定理即可知式(3) 成立.

必存

在

使

内可导，且

(2) 对任意实

数在

试证：(1

)

应用根的存在定理即可.

.

对

在上应用罗尔定理即可.

二、解答题

5． 求下列极限：

（1）【答案】⑴

（2）

6． 求

（a 为常数）.

【答案】（1）当a=-1时，

（2）当

吋，

故

（2

）

7． 判别下列级数的敛散性：

(1) (3) (5) (7) 【答案】(1) (2) 因为而级数(3) 因为

所以(4) 因为

所以(5) 因为

所以(6) 设

所以又因为(7) 因为

(2)

(4) (6)

所以级数，又因为

收敛，所以级数

_收敛.

发散.

收敛.

收敛.

发散. 则

，

当

. 时，有

收敛.

即

，因此

收敛，由比较判别法得