2017年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1)
. (2
)
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
2． 试证明
【答案】数集
因为对于任意一个正数M ,
令
3． 证明:
若函数
在区间在
内至少存在一点【答案】设函数
使得在区间
有上界而无下界. 对任意的
而
上连续
，
故3是数集S 的一个上界.S 无下界， 且
上有最大值M ，最小值m , 不妨设
由闭区间上连续函数的介值定理，可知在
内至少存在一点
使得
当时
时，取
即可.
则对
则
. 存
在
即
存在
是A+B的一个上界.
使
得
于是
，
并
且
使得c=a+b, 则设
于是
证明：
4． 设函数f 在区间I 上连续，证明：
(1) 若对任何有理数【答案】(1)
设当
为有理数时(2)
设有两个实数数
存在
(设有
则在I
上有
则f 在上严格増.
使
又因为
使得
：
可知时
并且对于正
两点连续. 由) ，使得当.
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(2) 若对任意两个有理数
由f 的连续性得
为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，
存在有理数列
所以
也为0，于是，在上
由有理数的稠密性知，
存在有理数
因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在
从而
.
和
而当
满足
时
从而
再由
存在有理数
知，
故f 在上严格递增.
二、解答题
5． 检验一个半径为2米，中心角为弦长，设量角最大误差为确
.
，现可直接测量其中心角或此角所对的的工件面积（图）
量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精
图
【答案】设弦长为1，则由量角引起的弦长误差
为
因此由量角引起的弦长最大误差为：
所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验，所得的结果较为准确.
6． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：
【答案】⑴
当P<1时，
当（2）
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其中a 为中心角为量角误差，从而当时
又因为量角时的最大误差
为
时，发散，故发散
由于上面这个极限不存在，故瑕积分（3）
（4）
（5）
（6）令
则
（7）
（8）
第 4 页，共 27 页
发散。
则
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