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一、证明题

1． 设

在区间上有界，记

因为

即

对

由

知

：

是使得

同理证明

【答案】

对

而

|的一个上界.

使得.

综上所述：

2． 试用有限覆盖定理证明聚点定理。

【答案】设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且

都不是S 的聚点，

于是存在正数

是

盖，设为少有一个聚点。

3． 证明：若

【答案】

记

故

界的定义知，

分别存在故

4． 设函数明：(1) 存在

【答案】(1) 令

在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且

使得

(2) 存在则

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所以有从

所以

假设S 没有聚点，

则任意

中只含有S 中有穷多个点.

而开区间集

的一个有限覆

中

使得

的一个开覆盖. 由有限覆盖定理知，

存在

它们也是S 的一个覆盖. 因为每一个

只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集. 这与题设矛盾. 故实轴上的任一有界无限点集S 至

在区间A 上有界，则

若

有

则

为常数，等式显然成立.

设

另一方面

则

由上、下确

使

及

即

证

从而由上界确定义知

使得

函数函数

在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.

使得

(2) 令

显然

在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于

且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于

所以有

即

..

使得使得

即

即存在

使得

由连续函数的零点存在定理知，存在

二、解答题

5． 求下列不定积分：

【答案】

6． 求均匀曲面

【答案】设质心坐标为

的质心。

由对称性有：

其中S 为所求曲面的面积，而

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则

D 为S 在

面投影

所以质心坐标为

7． 写出下列级数的乘积：

(1)

【答案】(1)

级数

得第n 条对角线和

下面考虑n 的奇偶性

原式(2) 因

收敛，故级数

均绝对收敛，按对角线相乘得

所以，原式

8． 将函数

在【答案】

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(2) 与级数

在

时均绝对收敛，从而可按对角线相乘，

上展开为傅里叶级数，并指出傅里叶级数所收敛的函数.